回转窑是煅烧或焙烧浆状、粉状和粒块状物料的理想热工设备，广泛的应用于建材工业，如水泥熟料煅烧、陶粒焙烧等；化学工业，如铬盐生产、钡盐制取、制碱、碳黑生产、以磷石膏制水泥联产硫酸等；黑色冶金工业，如烧结球团、炼钢用活性石灰的焙烧等；有色金属工业，如镁砂烧结、氧化铝制取、镍矿焙烧、五氧化二钒生产等以及耐火材料等工业部门中。尤其在建材工业中的水泥工业应用更多，地位更显重要。因此其素有水泥厂“心脏”之称，行业谚云：“只要大窑转，就有千千万。”
回转窑是一个庞大的长圆筒形设备，通过自身上的轮带倾斜置放在2~8个支承装置的托轮上，由传动装置驱动回转而工作。每个支承装置中都有两个或者四个托轮，如图1所示。世界上最长的回转窑已达232m，筒体最大直径已达Ø7.5m，其重量达数百吨甚至千余吨。
1.回转窑筒体；2.筒体上轮带；3.传动装置的大齿轮；4.支承装置的托轮
图1回转窑构造简图
回转窑在工作时，窑体一方面要围绕其纵向中心线连续回转，另一方面又要上下往复有规律的窜动，或者称为“移动”或“滑动”。回转是通过不同型式的传动装置实现。没有液压挡轮的回转窑，窑体上下有规律的往复窜动就必须通过调整托轮而实现。有液压挡轮的回转窑，其托轮也是需要调整的[1]。托轮调整就是将与窑筒体或轮带的中心线，即窑筒体纵向中心线平行置放的托轮轴中心线调斜，使其产生一个推动轮带上行的分力，达到筒体上窜的目的。下窜则是靠倾斜窑体自身重力沿筒体轴线所产生的分力而实现，如图2所示。
图2回转窑托轮中心线调斜的情况
轮带和托轮是回转窑最重要的零件，当前最重的一个轮带已接近百吨。虽然各自的结构会有不同，但是均由铸钢或锻钢经机械加工而成。由于轮带和托轮的负荷很重，一般又处在较高温度下工作，所以经常会出现表面掉碴、掉块、产生裂纹和断裂等问题。这些问题一旦出现，就会使企业受到很大的经济损失。因此，企业在订购轮带和托轮配件时提出的要求就是：“不掉碴，不掉块，不裂纹，不两瓣。”由此便不难看出其普遍性和严重性。于是，引起了有关人员的极大关注，纷纷进行研究[1][2][3]
这些问题产生的根源主要就是接触应力的问题。轮带和托轮理论化后便可视为两个直径不等的弹性圆柱体，当托轮与轮带轴线平行时，其接触应力的分析和计算比较简单，一般设计手册中都有现成的公式可以利用。但当托轮调斜之后，托轮与轮带轴线便成了交叉的，则此时就形成了两个直径不等弹性圆柱体轴线交叉的接触问题。这就涉及到弹性力学的领域，分析困难，计算复杂。所以，至今也没有工程中实用的理论分析数据可以应用于实际生产的托轮调整之中。其难度就在于分析和计算接触椭圆长短半轴长度的两个系数m和n无法确定。建材工业最高学府武汉建筑材料工业学院，即现在的武汉工业大学等编《建筑材料机械及设备》一书[5]中，只给出了θ=20°～90°与m和n系数的对应值，见表1。在该书的计算举例中，就是以两个圆柱体交叉角φ=30°进行计算的。该算例只能起到明示计算公式的应用方法和计算程序的作用，而没有实际应用价值，甚至会误导实际的托轮调整工作。因为在托轮的实际调整中，任何时候都不允许将托轮调斜30°，否则就会发生不可想象的严重后果。有些水泥厂曾发生过掉窑或称“下炕”的严重事故，就是因为托轮调斜后与轮带轴线交叉角太大所致。这是一种灾难性的事故，一旦发生将给企业造成不可估量的损失。在实际托轮调整中，托轮调斜后，其轴线与轮带轴线的交叉角连φ=1° 的都很少，一般都控制在0.2～0.5°范围内。另外，交叉角大了之后，接触应力会成几倍的增大。可见回转窑轮带和托轮经常出现的掉碴、掉块、裂纹和两瓣等设备问题，托轮调整不当是最重要的原因。
接触椭圆长短半轴系数m和n与θ角的对应值表1
由上述可见，在回转窑的托轮调整和设计中亟需解决两个弹性圆柱体轴线交叉任意角度时的接触应力分析和计算问题，以填补这项空白。对解决众多工业部门中回转窑托轮的正确调整，控制接触应力在允许范围之内，避免或减少轮带和托轮所出现的问题等具有很大的现实意义。
二.接触椭圆长短半轴的分析与计算
现假设有一组轮带和托轮两个弹性圆柱体交叉接触，轮带半径为Rt，托轮半径为Rr，它们的轴线交叉角为φ，如图3所示。
图3两弹性接触的圆柱体
在作用力Fr的作用下，两个圆柱体的接触面就要发生弹性变形。这时的接触面边界形状就应是椭圆，令椭圆的长半轴为a，短半轴为b。可按下式计算：
式中m和n是系数，它们与B有关。为计算方便，现引入下式：
式中m和n是系数，它们与B/A有关，为计算方便，现引入下式：
(3)式中的A按下式求出：
由（4）式可见，A值与交叉角φ无关，仅与两个圆柱体的半径有关。
(3)式中的B按下式求出：
由（5）式可见，B既与两个圆柱体的半径有关又与交叉角φ有关。
当两个圆柱体半径和其轴线交叉角确定之后，A和B都不难求出。随之利用（3）式θ角也很容易求出。现在最困难的也是最复杂的问题就是如何找出θ角与椭圆长短半轴系数m和n的对应关系。文献[5]中既没有给出计算方法也没有计算公式，仅列出了一个表，参见表1。而表1中只给出了θ=20°～90°与系数m和n的对应值。当θ<20°时，就无法确定出m和n之值，接触应力也就无法计算出来。
三.系数m和n与θ角的关系分析
海伦茨·赫兹（HeinrichHertz）用下述方法解决了这个问题。他以周界为椭圆，其长短半轴分别为a和b的接触面为基础作半椭球面，则接触面上的作用力或压力与该椭球面的纵坐标成正比的原理得到下式：
式中σ0为中心点O的压应力。由平衡条件得知，半椭球体的体积应等于总压力Fr，于是可用下式表达：
整理（7）式可以得到椭圆接触面中心O上的压应力，也就是最大压应力为：
将（8）式代入到（6）式中，便可得到椭圆接触面的压应力分布为：
通过进一步的分析，由文献[6]可以得到：
由（9）推导出（10）～（12）式的过程比较冗长，故在此将其推导过程省略。有兴趣的读者可参阅文献[6]。
式中λ表示位于接触面中心点O的公共法线上距O点相当远的任意两点因压缩而相互接近的距离。上式中：
因为材料都是钢，其泊松比μ=0.3，E1=E2=2.06×105N/mm2，将μ及E代入到（13）中得：
式（15）和式（16）都是椭圆积分，对角ψ=0～π积分后可得到下式：
式中e是椭圆的离心率，它应满足以下关系：
比较式（1）、式（2）和式（10）、式（11），由式（18）则可得到m和n两个系数与θ角的公式为：
由（19）～（21）式可见，虽然计算公式已经推导出来，但计算起来相当复杂，计算机的发展提供了计算的可能。采用Maple程序，当给定一个θ角就可以计算出椭圆的离心率e。由已得到的离心率e，根据（19）和（20）式便可计算出m和n两个系数之值。这样，根据（1）式和（2）式就能计算出接触椭圆的长短半轴α和b。当α和b已知，按下式计算出最大的接触应力：
为了节省计算时间和避免错误，现将轮带与托轮交叉角为φ时的θ角、接触椭圆的长短半轴α和b、计算系数m和n的对应值列在表2中，使用起来既方便又快捷准确。
系数m、n与θ角的对应关系表
四．计算实例
为了使读者能够掌握具体的计算方法和步骤，以便在设备维护，尤其对托轮进行调整时可以考虑，现以使用最多的2500t/dØ4×58m回转窑的中档为例进行计算。
1.已知支座反力为Q=4.462MN，轮带外径为Ø4.87m，半径Rt=2.435m，宽度Bt=0.8m，材料为ZG45钢，托轮外径为Ø1.75m，半径为Rr=0.875m，宽度为Br=0.85m，材料为ZG55钢。每档支承装置有两个托轮，其中心Or和轮带中心Ot的连线与窑体垂直中心线间的夹角为α=30°，如图4所示。
2.托轮或轮带作用力的计算
由图4可得作用在托轮或轮带上的作用力为：
图4一个托轮上所受力的分析简图
3.托轮或轮带单位长度上的作用力计算
真正接触部分的宽度应是轮带或托轮二者较小者，即Bt=0.8m。托轮单位长度上的作用力为：
4.系数A的计算
将已知的轮带和托轮半径值代入（4）中，则得：
5.系数B的计算
假设托轮调整后偏斜3°，即轮带与托轮轴线的交叉角φ=3°，按（5）式计算可得：
6.θ角的计算
将A、B之值代入到（3）式中，得：
7.m和n系数的确定
根据θ=2°45′30″利用内插法由表2查得：m=17.88n=0.1898
8.接触椭圆面长短半轴α和b的计算
因为轮带和托轮均为钢制，其泊松比μ=0.3，弹性模量E1=E2=2.06×105N/mm2。再将Rt，Rr，m和n之值分别代入到（1）式和（2）式中则得：
9.最大压应力计算
将Fr、a、b之值代入到（22）式中便得：
10.托轮不调斜时最大压应力计算
当托轮不调斜时，即轮带和托轮轴线完全平行时，其最大的压应力σ0可按下式进行计算：
现将已知值代入上式，则得：
11.最大接触压应力与许用表面接触压应力的比较
对于ZG45和ZG55钢，其许用表面接触压应力为[σ]=450MPa。
11.1在轮带与托轮轴线完全平行时，其最大表面接触压应力σ0与许用表面接触压应力[σ]的比值按下式计算：
11.2在轮带与托轮轴线交叉角φ=3°时，其最大表面接触压应力σmax与许用接触压应力[σ]的比值按下式计算：
通过上述的比较，可以得出这样的结论：这条窑中档的托轮和轮带，在其轴线完全平行时，表面接触的最大压应力虽然在许用范围内，但已经很接近许用表面的接触压应力，只相差6%。如果将托轮轴线调斜了3°，即轮带和托轮轴线的交叉角φ=3°时，接触面中点的最大表面接触压应力σmax将超出许用表面接触压应力[σ]的11%，轮带和托轮表面就极易出现问题。所以，在任何时候托轮都不能调斜3°。当然，这条窑在设计时已采用了液压挡轮，更没有必要将托轮调斜这样大的角度。
为了保证轮带和托轮在使用中的安全，设计者舍弃了三档配件统一的原则，将中档的轮带和托轮直径有意加大，详见表3。
Ø4×58m回转窑各档负荷，轮带和托轮的基本数据表3
五.结语
1.通过两弹性圆柱体轴线在任意交叉角为φ时，推导出系数m，n和θ角与椭圆离心率e的函数关系。并利用Maple程序编程进行计算，克服了解非线性方程的数学困难，获得了两弹性圆柱体轴线在任意交叉角为φ时，系数m，n与θ角的对应关系值[7]。将系数m，n与θ=0°～90°角的对应关系以表格形式列出，使系数m和n的准确确定成为可能，从而解决了轮带与托轮在轴线交叉任何角度时的最大表面接触压应力的计算难题，填补了这项空白。
2.通过实例计算给出了具体的计算步骤和方法，使许多有兴趣的读者可以效仿。解决了回转窑企业对回转窑正确维护，尤其在托轮调整时的应力分析提供了有效的办法。对轮带和托轮避免出现掉碴、掉块、裂纹和两瓣等问题提供了理论和正确计算的依据。
3.实际工程中，经过一段运转后，托轮和轮带表面形状都要发生一些变化，甚至有的出现奇形怪状。因此，在计算其最大表面接触压应力时，应根据实际情况进行简化处理。
参考文献
[1]江旭昌：回转窑托伦的调整[J].《新世纪水泥导报》1999年第2~第6期。
[2]贾志军：回转窑托轮调整对转窑轴线的影响，《设备管理与维护》2002年第8期。
[3]肖友刚，雷先明：回转窑托轮与轮带的接触应力及轮带的性能分析，《新世纪水泥导报》2007年第1期。
[4]李学军，刘义伦，陈安华：《回转窑健康维护理论与技术》[M].北京：机械工业出版社，2005年。
[5]武汉建筑材料工业学院等编：《建筑材料机械及设备》[M].北京:中国建筑材料出版社，1980。
[6]钱伟长，叶开源：《弹性力学》[M].北京：科学出版社，1956年。
[7]李银山等：回转窑两圆柱体任意交叉角接触压力系数计算，《河北工业大学学报》，第35卷第1期，2006年2月。
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